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社保缴费个人缴费和单位缴费是有不同的

单位缴费：上月申报，次月由地税代扣。即如果单位要为你缴纳9月份保险，则最迟应当在8月底申报，未及时申报的，9月份保险就无法缴纳

个人缴费：当月划账日前申报，当月月底扣除，次月可以查询

目前：第一，原公司既然在6月份已经和你解除劳动关系，则6月份之后的保险，原公司不再承担任何义务，所以你找原公司要求权益没有任何法律依据

第二，新单位要为你缴纳社保，需要看合同期，合同是几月份签订的，则保险应当是合同期为准，不得早于合同期

第三，至于你说的原单位未帮你办理社保转出，很简单，现在社保由单位转个人缴纳，是由个人办理而不是单位办理。单位在劳动部门办理完终止解除和停保手续后，就不再承担相应的保险义务，有的单位会把相关材料直接给个人，有的则需要个人去自行领取。个人凭材料到当地区县级社保机构办理社保转个人缴费。

第四，关于入职问题：目前，一个人从一个单位离职，到另一家单位工作并参保，可以有两种方法：第一种，就是借调或关系转移，即从一个单位转移到另一家单位，一般是国有企业间转移或同一个老板的下属企业转移，这种情况是由单位办理转移手续，个人只需要工作即可；第二种则是解除再就业，即同原单位解除劳动关系后，再到新单位上班。这种情况下，要办理的手续：第一步，和原单位解除劳动关系，终止保险关系；第二步，在原单位领取相关材料后，去当地社保机构办理失业登记，将身份从就业人员转变为失业人员；第三步，以失业人员的身份和新单位签订劳动合同并办理相关参保手续。

像你这种情况，应当是在第一次离职后就直接到新单位就业，也就是俗称的“骑驴找马”类跳槽，却忽略了应当在和原单位解除劳动关系后去当地社保机构办理失业登记，由于没有失业登记，所以你的保险是被终止的，但就业状态仍然是单位就业，新单位依照劳动合同法根本无法和你订立劳动合同建立劳动关系。但原单位的义务是和你解除并停保，并没有要求你做失业登记的义务，也没有帮你办理个人参保的义务，所以就目前来看，你可以主张的，是新单位和你签订合同之日起的社保，如单位8月份和你签合同，你可以要求单位从8月份开始缴费，但目前责任有一部分在你自己未能及时在社保机构办理相应的业务手续。所以目前如果新单位和合同到原单位的解除之间有空档期的，只能是协商解决，或者自行缴纳。