顾炎武与东林书院有何关系？

两者没有关系。

不过，东林书院和顾宪成有关关系。

东林书院创建于北宋政和元年即公元1111年，是当时为北宋理学家程颢、程颐嫡传高弟、知名学者杨时长期讲学的地方。后废。明朝万历三十二年，也就是公元1604年，由东林学者顾宪成等人重兴修复并在此聚众讲学，他们倡导“读书、讲学、爱国”的精神，引起全国学者普遍响应，一时声名大著。东林书院成为江南地区人文荟萃之区和议论国事的主要舆论中心。

顾宪成（1550－1612）明代思想家，东林党领袖。江苏无锡人，字叔时，号泾阳，因创办东林书院而被人尊称“东林先生”。万历八年进士，授户部主事。十五年以上疏语侵执政，谪桂阳州判官。历迁至吏部员外郎、文选郎中。二十二年以廷推阁臣忤旨，削籍归，在里与弟顾允成倡修东林书院，偕高攀龙等讲学其中，往往讽议朝政，朝野应合，东林之名由是大著。顾宪成和赵南星、邹元标号为“三君”，又同顾允成、高攀龙、安希范、刘元珍、钱一本、薛敷教、叶茂才时称“东林八君子”，著有《顾端文遗书》等。

顾宪成和顾炎武，只是同姓而已，有可能是同一宗族。