哥德尔不完备定理的例子

哥德尔不完备定理的例子如下：

1、古德斯坦定理：古德斯坦数列增长快其实是很容易理解的。指数函数本来增长就快，古德斯坦数列把底数、指数上的底数、指数的指数上的底数等，以及最后的指数都增大了1，那么得到的新数当然比原来大出非常多倍啦。难以理解的反而是古德斯坦定理的结论，在有限步之后古德斯坦数列都会收敛到0。

2、集合的序数：我们从小就会数数，两三岁的小孩子也许就可以从1数到10了。可是如果认真思考一下，即使当我们长大成人后，单看数数的话，我们并没有比三岁孩子长进多少，也只不过是把数到10的能力扩展到了数到100、1000、10000，至多可以一直数下去。基数与序数在有限集中是这一回事，但是在无限集中则是完全不同的概念。

哥德尔不完备定理：

哥德尔不完备定理是由美国著名数学家哥德尔于1931年提出来的理论。该理论证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。它使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。

这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫希尔伯特提出，象实分析那样较为复杂的体系的相容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终，全部数学的相容性可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。